Uskrs je doba kad je jaje jedna od vrlo često spominjanih imenica. Kuhano uz šunku ili ukrašeno kao pisanica, simbol života i novog stvaranja. Može li jaje biti zanimljivo matematičaru i drugačije osim kao hrana? Da bismo to utvrdili zamislimo slijedeći pokus: zalijepimo jaje uspravno za površinu stola i zatim obilazimo oko stola i promatrajmo jaje sa svih strana. Ovo kretanje je prikazano slikom.

Gledano iz više različitih smjerova jaje nam izgleda uvijek jednako. Sličan efekt možemo dobiti ako jaje, na primjer pisanicu, probodemo iglom po duljini, kao na slici. Primimo li krajeve igle i lagano sve skupa rotiramo, vidjet ćemo da jaje izgleda jednako iz svih smjerova. Ovu iglu nazivamo "os rotacijske simetrije".  Simetrija jajeta je vrlo prikladna za opisivanje njegovog oblika.

Zamislimo da vrlo oštrim nožem presiječemo jaje od vrha do dna duž osi simetrije. Dobili smo dvije polovice jajeta (da nam se ne bi razlilo, uzeli smo samo ljusku). Kakav je oblik jajeta na presjeku? Bez sumnje ćete većinom odgovoriti: "Ovalan". A niste mi time ništa novo rekli jer riječ "oval" dolazi od latinske riječi "ovum" koja znači jaje. Dakle, rekli ste mi da je jaje na presjeku oblika nalik jajetu! No, kakav je to zapravo oblik koji je "nalik jajetu"? Možemo li ga opisati matematički?

Vidimo da nam ovaj presjek najviše liči na elipsu ali nije baš elipsa jer je na jednom kraju širi a na drugom uži, dok su kod elipse oba kraja jednaka. Svejedno, elipsa je dobar početak za traženje matematičke formule oblika jajeta. 

Elipsa je geometrijski lik kojega čini skup svih točaka u ravnini kojima je zbroj udaljenosti od dvije fiksne točke konstantan.  Oblik elipse ovisi o zadanom konstantnom zbroju udaljenosti. Evo kako to izgleda na slici za elipsu kojoj je zbroj udaljenosti od dviju točaka (žuta i zelena crta) zadan da bude 2.



Da bismo elipsu učinili sličniju jajetu moramo malo promijeniti njenu formulu. Recimo da definiramo oval kao skup svih onih točaka u ravnini kojima je zbroj udaljenosti od jedne točke i dvostruke udaljenosti od druge točke jednak konstanti. Takav oval naziva se Descartesov ili kartezijanski oval. Evo na slici takvog ovala sa zadanom konstantom zbroja udaljenosti jednakom 3. Prilično liči jajetu.



Giovanni Cassini, astronom koji je otkrio Saturnove mjesece, istražujući putanje planeta oko zvijezda (koje isto nisu baš elipse) dao je još jednu definiciju ovala, koji su po njemu nazvani Cassinijevi ovali. Cassinijev oval je lik kojega čine sve one točke u ravnini kojima je umnožak udaljenosti od dviju fiksnih točaka jednak konstanti. O toj konstanti ovisi i oblik Cassinijevog ovala. Slika prikazuje Cassinijev oval za zadani umnožak 0.96. Vidimo da smo dobili odjednom dva jajeta!



Poučak: kako vidimo, kokoši znaju matematiku, bar onaj dio o kartezijanskim ovalima, a one bolje nesilice očito su proučavale i radove Cassinija. Zato razmislite prije nego pokušate uvrijediti neku ženu nazvavši ju kokoškom. 

Kako vidimo brojevnih sustava u upotrebi ima nekoliko, bilo ih je i više (još zaboravih u prethodnom postu spomenuti da su Maje koristile brojevni sustav s bazom 20), a teorijski ih može biti koliko hoćete. Svaki broj može biti baza brojevnog sustava. Neke smo odabrali iz prirodnih razloga kao dekadski zbog deset prstiju na rukama. Neke smo odabrali iz tehničkih razloga, kao binarni za računala jer elektronički sklopovi ne mogu imati više od dva stabilna stanja (postoje na tom polju neki pomaci ali o njima drugom prilikom). 

Postoji li broj koji je najbolja, optimalna baza za brojevni sustav? Da bismo na to odgovorili moramo najprije odlučiti što je to optimalno, tj. po čemu je neka baza bolja od druge. To ima veze s teorijom informacija i mogli bismo reći da je najbolji onaj brojevni sustav koji je informacijski najgušći, odnosno svaki broj prikazuje na najmanjoj informacijskoj površini. Informacijska površina ovdje je prikazana umnoškom broja znamenki u svakom pojedinom broju i broja različitih simbola (znamenki) u sustavu. 

Zašto nam je to važno? Razmislimo o procesorima računala koji će "žvakati" te brojke. Optimalni brojevni sustav u procesoru znači da za istu količinu računanja trebamo manje poluvodičkih elemenata, što znači manje zagrijavanje procesora, što znači mogućnost gušćeg pakiranja elemenata i lakše hlađenje. U krajnjoj liniji to znači manju potrošnju energije i manje štetan utjecaj na okoliš. Postoji li veza između matematike i ekologije? Naravno!

Neću vas ovdje zamarati prikazivanjem cijelog izračuna, ali ova površina se može izraziti kao funkcija baze brojevnog sustava i ona ima minimum koji označava mjesto naše optimalne baze. Kad se izračuna ta optimalna baza dobije se da je ona jednaka broju e, bazi prirodnog logaritma. Ovo vas neće začuditi ako ste dosada uočili kako se ovaj broj pojavljuje iza svakog ugla u matematici i fizici.

Elem, e je optimalna baza brojevnog sustava, ali je kao takva sasvim neupotrebljiva. Broj e nije cijeli broj (približno: e=2,718281828...), ima beskonačan broj decimala, k tome je iracionalan (ne može se prikazati kao omjer dvaju cijelih brojeva). Pisanje brojeva u sustavu s bazom koja nije cijela je vraški zaguljeno. Prisjetimo se samo da je za prikaz potrebno toliko različitih simbola kolika je baza sustava, pa vi sad smislite kako ćete skupiti 2,718281828 različitih znakova. 

Stoga se trebamo odlučiti između cjelobrojnih baza koje su najbliže broju e. Baza 2 se čini dobrim izborom, ona je prvi cijeli broj naniže, a računala ju i tako danas već koriste. Ali ona nije optimalna cjelobrojna baza jer je dalje od e nego cijeli broj 3. Matematički je trojka optimalna cjelobrojna baza ali ona ima neke probleme u primjeni. Elektroničke sklopove s tri stabilna stanja je teško proizvesti. Bilo je istraživanja, pa su i napravljeni neki prototipovi računala koja su koristila brojevni sustav s bazom 3 (ternarni), ali su te naprave bile previše složene, koštale su puno više i trošile više energije od binarnih računala, što je poništilo efekt optimiranja. 

Slijedeća najbliža cjelobrojna baza koju možemo uzeti u obzir je četvorka. Može se reći da ovaj broj ima potencijala kao baza brojevnog sustava za računala budućnosti. Kao prvo, udruživanjem dva binarna elementa jednostavno se dobije element s četiri stabilna stanja. Ali ono što stvarno otkriva potencijal četvorke je otkriće kodiranja DNA molekule. Naime, čitav kod DNA ispisuje se sa četiri različita simbola, to jest baza brojevnog sustava za kodiranje DNA je upravo ova naša četvorka. Postoji li veza između matematike i genetike? Naravno! Neka suvremena istraživanja u računalnom inženjeringu idu u pravcu stvaranja računalnih sklopova na razini organskih molekula.

U današnjem svakodnevnom životu većina nas upotrebljava sustav za prikaz brojeva, ili kraće brojevni sustav, koji se zasniva na potencijama broja 10, nazvan još i dekadski sustav. Tako kad na primjer napišemo broj 2548, to u stvari predstavlja cijeli broj koji dobijemo izračunavanjem:

2x10³ + 5x10² + 4x10¹ + 8x10⁰ = 2548₍₁₀₎

Pri tome treba se prisjetiti da svaki broj potenciran s nulom daje kao rezultat jedinicu, pa je tako i 10⁰=1. Oznaka _(x) znači da je broj napisan u brojevnom sustavu s bazom x. Uobičajeno je da, ako ta oznaka nije napisana, podrazumijevamo upotrebu dekadskog brojevnog sustava. 

Popularnost broja 10 kao baze za sustav prikazivanja brojeva temelji se na jednostavnoj činjenici da od pamtivjeka imamo po pet prstiju na svakoj ruci, ukupno 10 prstiju koje smo počeli koristiti za računanje. Da imamo po šest prstiju na svakoj ruci vjerojatno bismo koristili sustav kojemu je baza broj 12, pa bi ovaj isti zapis predstavljao sasvim drugi broj:

2548₍₁₂₎ = 2x12³ + 5x12² + 4x12¹ + 8x12⁰ = 4232₍₁₀₎

Ljudi nisu oduvijek preferirali broj 10 kao bazu za prikaz brojeva. Na primjer, indijanci iz plemena Yuki Pomo u Sjevernoj Kaliforniji koristili su za prikaz brojeva sustav temeljen na broju osam (oktalni). Jesu li imali po četiri prsta na svakoj ruci? Nisu, nego su računali koristeći razmake između prstiju, kojih ima po četiri na ruci. 

Unatoč broju prstiju, stari Sumerani su koristili brojevni sustav s bazom 60 (seksagezimalni). Tragovi tog sustava ostali su do danas u mjerenju vremena pa zbog toga sat ima šezdeset minuta a minuta šezdeset sekundi. 

Skoro svi danas znaju da suvremena računala interno prikazuju brojeve u binarnom sustavu, s bazom 2. Kao prikladniji za ljude, u računalstvu programeri također koriste i oktalni (baza 8) i heksadecimalni (baza 16) brojevni sustavi za prikaz sadržaja računalnih registara i memorije, dok se u dekadski sustav brojevi pretvaraju tek za prikaz krajnjem korisniku.  

Da bi mogao prikazati sve brojeve, brojevni sutav mora raspolagati s onoliko različitih znamenki kolika mu je baza. Tako dekadski sustav ima deset znamenki: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9 (poznate još i kao arapske znamenke). U oktalnom sustavu upotrebljavamo prvih osam arapskih znamenki: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 i 7. U oktalnom sustavu onaj broj iz primjera, 2548₍₁₀₎, bio bi prikazan ovako: 4764₍₈₎.

Binarni sustav, znamo ima samo dvije znamenke; 0 i 1; i naš broj iz primjera bi izgledao ovako: 100111110100₍₂₎.

Kod sustava s bazom većom od 10 treba nam više znamenki nego što ima arapskih pa se uobičajeno počinju koristiti slova abecede. Tako heksadecimalni sustav ima znamenke: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E i F.  U heksadecimalnom sustavu onaj broj iz primjera bio bi prikazan ovako: 9F4₍₁₆₎.

Odaberite četveroznamenkasti cijeli broj, ali neka ne bude umnožak od 1111 (1111, 2222, 3333 ...).

1. Poredajte znamenke u tom broju u rastući niz (od najmanje prema najvećoj).
2. Poredajte znamneke u tom broju u padajući niz (od najveće prema najmanjoj).
3. Oduzmite manji broj od većega.

S dobivenim rezultatom ponovite korake 1 do 3, i nastavite tako dalje. Što se dogodilo?

Uzmimo za primjer broj 4482.
Poredajmo znamenke u rastući niz: 2448
Poredajmo znamenke u padajući niz: 8442
Od većeg broja oduzmimo manji: 8442 - 2448 = 5994
Ponovimo postupak s rezultatom 5994.
9954 - 4599 = 5355
Nastavimo ponavljati:
5553 - 3555 = 1998
9981 - 1899 = 8082
8820 - 288 =  8532 (nulu na prvom mjestu izostavljamo)
8532 - 2358 = 6174
7641 - 1476 = 6174
7641 - 1476 = 6174
7641 - 1476 = 6174 ... i tako dalje!

Od bilo kojeg četveroznamenkastog broja (osim višekratnika od 1111) započeli, završit ćemo na kraju s brojem 6174! Objašnjenje ove pojave još nije pronađeno.